38 lines
1012 B
XML
38 lines
1012 B
XML
$
|
||
E x p(lambda): space.quad E X = frac(1, lambda), space.quad D X = frac(1, lambda^2)
|
||
$
|
||
|
||
По определению
|
||
|
||
$
|
||
E X eq integral_0^infinity x dot lambda e^(-lambda x) space d x eq 1/lambda
|
||
$
|
||
|
||
Заменяем $E X$ на выборочное среднее $overline(x)$
|
||
|
||
$
|
||
E X eq overline(x) arrow.double 1/lambda eq overline(x) arrow.double hat(lambda)_"ММ" eq frac(1, overline(x))
|
||
$
|
||
|
||
Альтернативная оценка через дисперсию --- приравняем $D X eq S^2$
|
||
|
||
$
|
||
frac(1, lambda^2) eq S^2 arrow.double hat(lambda)_"ММ2" eq frac(1, sqrt(S^2))
|
||
$
|
||
|
||
Функция правдоподобия
|
||
|
||
$
|
||
L(lambda) eq product_(i eq 1)^n lambda e^(-lambda x i) eq lambda^n dot e^(-lambda sum x_i)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
ell(lambda) eq ln L(lambda) eq n ln lambda - lambda sum_(i eq 1)^n x_i
|
||
$
|
||
|
||
Берем производную и приравниваем к нулю
|
||
|
||
$
|
||
frac(d ell, d lambda) eq n/lambda - sum x_i eq 0 arrow.double hat(lambda)_"ММП" eq frac(n, sum x_i) eq frac(1, overline(x))
|
||
$
|