$
E x p(lambda): space.quad E X = frac(1, lambda), space.quad D X = frac(1, lambda^2)
$

По определению

$
E X eq integral_0^infinity x dot lambda e^(-lambda x) space d x eq 1/lambda
$

Заменяем $E X$ на выборочное среднее $overline(x)$

$
E X eq overline(x) arrow.double 1/lambda eq overline(x) arrow.double hat(lambda)_"ММ" eq frac(1, overline(x))
$

Альтернативная оценка через дисперсию --- приравняем $D X eq S^2$

$
frac(1, lambda^2) eq S^2 arrow.double hat(lambda)_"ММ2" eq frac(1, sqrt(S^2))
$

Функция правдоподобия

$
L(lambda) eq product_(i eq 1)^n lambda e^(-lambda x i) eq lambda^n dot e^(-lambda sum x_i)
$

$
ell(lambda) eq ln L(lambda) eq n ln lambda - lambda sum_(i eq 1)^n x_i
$

Берем производную и приравниваем к нулю

$
frac(d ell, d lambda) eq n/lambda - sum x_i eq 0 arrow.double hat(lambda)_"ММП" eq frac(n, sum x_i) eq frac(1, overline(x))
$