update
This commit is contained in:
me
571
rgr1/archive/report.typ
Normal file
571
rgr1/archive/report.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,571 @@
|
||||
#set document(title: "РГР №1")
|
||||
#set page(
|
||||
paper: "a4",
|
||||
margin: (top: 2.5cm, bottom: 2.5cm, left: 3cm, right: 2cm),
|
||||
numbering: "1",
|
||||
)
|
||||
#set text(font: "New Computer Modern", size: 14pt, lang: "ru")
|
||||
// #set heading(numbering: "1.")
|
||||
#set par(justify: true, leading: 0.75em)
|
||||
#show math.equation: set text(size: 14pt)
|
||||
#show link: underline
|
||||
|
||||
#set page(footer: context {
|
||||
if counter(page).get().first() > 1 [
|
||||
#align(center)[
|
||||
#counter(page).display("1")
|
||||
]
|
||||
]
|
||||
if counter(page).get().first() == 1 [
|
||||
#align(center)[
|
||||
Санкт-Петербург \ 2026
|
||||
]
|
||||
]
|
||||
})
|
||||
|
||||
#set page(header: context {
|
||||
if counter(page).get().first() == 1 [
|
||||
#align(center)[
|
||||
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
|
||||
]
|
||||
]
|
||||
})
|
||||
|
||||
#show raw.where(block: false): box.with(
|
||||
fill: luma(240),
|
||||
inset: (x: 3pt, y: 0pt),
|
||||
outset: (y: 3pt),
|
||||
radius: 2pt,
|
||||
)
|
||||
|
||||
#show raw.where(block: true): block.with(
|
||||
fill: luma(240),
|
||||
inset: 10pt,
|
||||
radius: 4pt,
|
||||
)
|
||||
|
||||
|
||||
#for _ in range(5) { linebreak() }
|
||||
|
||||
#align(center)[Лабораторная работа №4. Postgres]
|
||||
|
||||
#for _ in range(15) { linebreak() }
|
||||
|
||||
#align(right)[Выполнил:]
|
||||
#align(right)[Дощенников Никита]
|
||||
#align(right)[Группа: К3221]
|
||||
#align(right)[Проверила:]
|
||||
#align(right)[Александра Валерьевна Купера]
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
|
||||
#outline(title: "Содержание", indent: 1.5em)
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
|
||||
= Первичное описание выборки
|
||||
|
||||
В данном разделе выполняется первичный анализ столбцов $X_1$, $X_2$, $X_3$
|
||||
из предоставленного CSV-файла объёмом $n = 200$ наблюдений.
|
||||
|
||||
== Вариационный ряд
|
||||
|
||||
Вариационный ряд --- упорядоченная по возрастанию последовательность наблюдений $x_1 lt.eq x_2 lt.eq dots lt.eq x_n$.
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/variation-series-X1.png"),
|
||||
caption: [Вариационный ряд столбца $X_1$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/variation-series-X2.png"),
|
||||
caption: [Вариационный ряд столбца $X_2$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/variation-series-X3.png"),
|
||||
caption: [Вариационный ряд столбца $X_3$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/variation-series-X4.png"),
|
||||
caption: [Вариационный ряд столбца $X_4$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
== Эмпирическая функция распределения
|
||||
|
||||
Эмпирическая функция распределения определяется как
|
||||
|
||||
$
|
||||
F_n (x) = frac(nu_n (x), n),
|
||||
$
|
||||
|
||||
где $nu_n (x)$ --- число наблюдений, строго меньших $x$. График $F_n (x)$ является ступенчатой функцией: в каждой точке $x_i$ происходит скачок на $1/n$.
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/ecdf-X1.png"),
|
||||
caption: [Эмпирическая функция распределения $F_n (x)$ для ряда $X_1$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/ecdf-X2.png"),
|
||||
caption: [Эмпирическая функция распределения $F_n (x)$ для ряда $X_2$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/ecdf-X3.png"),
|
||||
caption: [Эмпирическая функция распределения $F_n (x)$ для ряда $X_3$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#align(center)[
|
||||
#figure(
|
||||
image("assets/ecdf-X4.png"),
|
||||
caption: [Эмпирическая функция распределения $F_n (x)$ для ряда $X_4$]
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
== Гистограммы
|
||||
|
||||
Для выбора числа интервалов использовались три правила:
|
||||
|
||||
- *Правило Скотта:* $h = 3.5 hat(sigma) n^(-1/3)$, откуда $k = ceil.l (x_max - x_min) / h ceil.r$.
|
||||
- *Правило Фридмана–Диакониса:* $h = 2 dot "IQR" dot n^(-1/3), space "IQR" = q_0.75 - q_0.25$.
|
||||
- *Правило Стерджеса:* $k = 1 + floor.l log_2 n floor.r$.
|
||||
|
||||
Результаты для $n = 200$:
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: 4,
|
||||
align: horizon + center,
|
||||
table.header([*Правило*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[Скотт], [10], [6], [11],
|
||||
[Фридман–Диакон.], [12], [6], [17],
|
||||
[Стерджес], [8], [8], [8],
|
||||
),
|
||||
caption: [Число интервалов $k$ по разным правилам],
|
||||
)
|
||||
|
||||
В дальнейшем используется правило Скотта как наиболее устойчивое к форме
|
||||
распределения.
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
rect(width: 100%, height: 7cm, fill: luma(240), stroke: luma(180))[
|
||||
#align(center + horizon)[_[Вставить гистограммы X1 (три правила рядом)]_]
|
||||
],
|
||||
caption: [Гистограммы $X_1$ по трём правилам],
|
||||
)
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
rect(width: 100%, height: 7cm, fill: luma(240), stroke: luma(180))[
|
||||
#align(center + horizon)[_[Вставить гистограммы X2 (три правила рядом)]_]
|
||||
],
|
||||
caption: [Гистограммы $X_2$ по трём правилам],
|
||||
)
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
rect(width: 100%, height: 7cm, fill: luma(240), stroke: luma(180))[
|
||||
#align(center + horizon)[_[Вставить гистограммы X3 (три правила рядом)]_]
|
||||
],
|
||||
caption: [Гистограммы $X_3$ по трём правилам],
|
||||
)
|
||||
|
||||
// ─── 1.4 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Числовые характеристики
|
||||
|
||||
Выборочное среднее:
|
||||
$
|
||||
macron(x) = frac(1,n) sum_(i=1)^n x_i.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Смещённая и несмещённая дисперсии:
|
||||
$
|
||||
S^2 = frac(1,n) sum_(i=1)^n (x_i - macron(x))^2, quad
|
||||
hat(sigma)^2 = frac(1,n-1) sum_(i=1)^n (x_i - macron(x))^2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2.2fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header(
|
||||
[*Характеристика*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]
|
||||
),
|
||||
[$macron(x)$ — выборочное среднее], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$S^2$ — смещённая дисперсия], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(sigma)^2$ — несмещённая дисперсия], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$S$ — смещённое ст. откл.], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(sigma)$ — несмещённое ст. откл.],[\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$m_e$ — медиана], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$q_{0.25}$ — первый квартиль], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$q_{0.75}$ — третий квартиль], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$"IQR" = q_{0.75} - q_{0.25}$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$x_min$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$x_max$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Числовые характеристики выборок],
|
||||
)
|
||||
|
||||
// ─── 1.5 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Описание формы распределений
|
||||
|
||||
*Столбец $X_1$.*
|
||||
_(Заполнить после анализа: симметрия/асимметрия, наличие выбросов,
|
||||
естественные границы значений, характер хвостов.)_
|
||||
|
||||
*Столбец $X_2$.*
|
||||
_(Заполнить после анализа.)_
|
||||
|
||||
*Столбец $X_3$.*
|
||||
_(Заполнить после анализа.)_
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Гипотезы о виде закона распределения
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
На основании гистограмм, ЭФР и числовых характеристик для каждого столбца
|
||||
выдвигается гипотеза о законе распределения из списка:
|
||||
нормальное $N(a, sigma^2)$, равномерное $U(a, b)$,
|
||||
экспоненциальное со сдвигом $"Exp"_(lambda, c)$.
|
||||
|
||||
*Столбец $X_1$ — предполагаемый закон: \_\_\_\_\_\_\_\_\_.*
|
||||
|
||||
_(Обоснование: форма гистограммы, симметрия, соотношение среднего и медианы,
|
||||
характер ЭФР и т.д. — 2–6 предложений.)_
|
||||
|
||||
*Столбец $X_2$ — предполагаемый закон: \_\_\_\_\_\_\_\_\_.*
|
||||
|
||||
_(Обоснование.)_
|
||||
|
||||
*Столбец $X_3$ — предполагаемый закон: \_\_\_\_\_\_\_\_\_.*
|
||||
|
||||
_(Обоснование.)_
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Оценивание параметров
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
// ─── 3.1 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Метод моментов
|
||||
|
||||
Идея метода: приравнять теоретические моменты $E X$ и $D X$ к выборочным
|
||||
оценкам и решить систему уравнений.
|
||||
|
||||
=== Нормальное распределение $N(a, sigma^2)$
|
||||
|
||||
Теория: $E X = a$, $D X = sigma^2$. Оценки:
|
||||
$
|
||||
hat(a) = macron(x), quad hat(sigma)^2 = S^2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Равномерное распределение $U(a, b)$
|
||||
|
||||
Теория: $E X = (a+b)/2$, $D X = (b-a)^2 / 12$. Оценки:
|
||||
$
|
||||
hat(a) = macron(x) - sqrt(3 S^2), quad hat(b) = macron(x) + sqrt(3 S^2).
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Экспоненциальное распределение со сдвигом $"Exp"_(lambda,c)$
|
||||
|
||||
Плотность: $f(x) = lambda e^{-lambda(x-c)}$, $x gt.eq c$, $lambda > 0$.
|
||||
|
||||
Теория: $E X = c + 1/lambda$, $D X = 1/lambda^2$. Оценки:
|
||||
$
|
||||
hat(lambda) = 1/S, quad hat(c) = macron(x) - 1/hat(lambda).
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Результаты метода моментов
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header([*Параметр*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[Параметр 1 (\_\_\_)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Параметр 2 (\_\_\_)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Оценки параметров методом моментов],
|
||||
)
|
||||
|
||||
// ─── 3.2 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Метод максимального правдоподобия
|
||||
|
||||
Функция правдоподобия и логарифм правдоподобия:
|
||||
$
|
||||
L(theta) = product_(i=1)^n f(x_i | theta), quad
|
||||
ell(theta) = sum_(i=1)^n ln f(x_i | theta).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Оценка ММП: $hat(theta) = arg max_theta ell(theta)$.
|
||||
|
||||
=== Нормальное распределение
|
||||
|
||||
$
|
||||
ell(a, sigma) = -n ln sigma - frac(1, 2 sigma^2) sum_(i=1)^n (x_i - a)^2 + "const".
|
||||
$
|
||||
|
||||
Из условий первого порядка:
|
||||
$
|
||||
hat(a)_("МП") = macron(x), quad hat(sigma)^2_("МП") = S^2 = frac(1,n) sum_(i=1)^n (x_i - macron(x))^2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Равномерное распределение
|
||||
|
||||
Плотность $f(x) = 1/(b-a)$ при $x in [a,b]$. Правдоподобие максимизируется при
|
||||
наименьшем возможном $(b-a)$, откуда:
|
||||
$
|
||||
hat(a)_("МП") = min{x_1, dots, x_n}, quad hat(b)_("МП") = max{x_1, dots, x_n}.
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Экспоненциальное распределение со сдвигом
|
||||
|
||||
$
|
||||
ell(lambda, c) = n ln lambda - lambda sum_(i=1)^n (x_i - c).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Так как $ell$ возрастает по $c$ (при $c lt.eq x_min$):
|
||||
$
|
||||
hat(c)_("МП") = min{x_1, dots, x_n}, quad hat(lambda)_("МП") = frac(1, macron(x) - hat(c)).
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== Результаты ММП
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header([*Параметр*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[Параметр 1 (\_\_\_)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Параметр 2 (\_\_\_)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Оценки параметров методом максимального правдоподобия],
|
||||
)
|
||||
|
||||
// ─── 3.3 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Сравнение оценок двух методов
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: center,
|
||||
table.header(
|
||||
[], table.cell(colspan: 2)[$X_1$], table.cell(colspan: 2)[$X_2$], table.cell(colspan: 2)[$X_3$],
|
||||
[*Параметр*], [*ММ*], [*МП*], [*ММ*], [*МП*], [*ММ*], [*МП*],
|
||||
),
|
||||
[Параметр 1], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_],
|
||||
[Параметр 2], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_], [\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Сравнение оценок методом моментов и ММП],
|
||||
)
|
||||
|
||||
_(Комментарий: для нормального распределения оценки совпадают. Для равномерного
|
||||
и экспоненциального оценки различаются — пояснить почему, 2–4 предложения.)_
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Оценивание вероятности $P(X > x_0)$
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
В качестве порога выбирается $x_0 = macron(x) + hat(sigma)$.
|
||||
|
||||
*Эмпирическая оценка:*
|
||||
$
|
||||
hat(p)_("эмп") = frac(1,n) sum_(i=1)^n bold(1)[x_i > x_0].
|
||||
$
|
||||
|
||||
*Параметрическая оценка* — подстановка найденных оценок в теоретическую формулу:
|
||||
|
||||
- Для $N(a, sigma^2)$: $quad P(X > x_0) = 1 - Phi\( (x_0 - hat(a)) / hat(sigma) \)$.
|
||||
- Для $U(a,b)$: $quad P(X > x_0) = (hat(b) - x_0) / (hat(b) - hat(a))$ при $x_0 in [hat(a), hat(b)]$.
|
||||
- Для $"Exp"_(lambda,c)$: $quad P(X > x_0) = e^{-hat(lambda)(x_0 - hat(c))}$.
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2.5fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header([*Оценка*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[$x_0 = macron(x) + hat(sigma)$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(p)_"эмп"$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(p)_"пар"$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Расхождение $|hat(p)_"эмп" - hat(p)_"пар"|$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Сравнение эмпирической и параметрической оценок вероятности],
|
||||
)
|
||||
|
||||
_(Комментарий к расхождению — 2–3 предложения.)_
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Оценка моментов по сгруппированной выборке
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
Пусть гистограмма содержит $m$ интервалов, в $k$-й интервал попало $n_k$
|
||||
наблюдений, $hat(X)_k$ — середина $k$-го интервала. Тогда:
|
||||
|
||||
$
|
||||
hat(X)_g = frac(1,n) sum_(k=1)^m n_k hat(X)_k, quad
|
||||
hat(sigma)^2_g = frac(1,n-1) sum_(k=1)^m n_k (hat(X)_k - hat(X)_g)^2.
|
||||
$
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2.5fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header([*Характеристика*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[$hat(X)_g$ (по сгруппированной)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$macron(x)$ (по исходным)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(sigma)^2_g$ (по сгруппированной)],[\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[$hat(sigma)^2$ (по исходным)], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Сравнение оценок по сгруппированной и исходной выборкам],
|
||||
)
|
||||
|
||||
_(Комментарий: потеря точности при группировке обусловлена заменой каждого
|
||||
наблюдения серединой интервала — 2–3 предложения.)_
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Доверительные интервалы
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
Уровень доверия $1 - alpha = 0.95$, то есть $alpha = 0.05$.
|
||||
|
||||
== Асимптотический доверительный интервал для $E X$
|
||||
|
||||
По центральной предельной теореме для всех трёх столбцов:
|
||||
|
||||
$
|
||||
E X in
|
||||
lr(( macron(x) - z_{1-alpha/2} frac(hat(sigma), sqrt(n)), space
|
||||
macron(x) + z_{1-alpha/2} frac(hat(sigma), sqrt(n)) )),
|
||||
$
|
||||
|
||||
где $z_{0.975} approx 1.960$.
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2fr, 1fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center, center),
|
||||
table.header([*Граница*], [*$X_1$*], [*$X_2$*], [*$X_3$*]),
|
||||
[Нижняя граница], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Верхняя граница], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Ширина интервала], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Асимптотические ДИ для $E X$ на уровне $0.95$],
|
||||
)
|
||||
|
||||
== Точные доверительные интервалы для нормального столбца
|
||||
|
||||
Для столбца $X\_\_$ (отнесённого к $N(mu, sigma^2)$):
|
||||
|
||||
*ДИ для $mu$ при неизвестной $sigma^2$* (распределение Стьюдента):
|
||||
$
|
||||
mu in lr((
|
||||
macron(x) - t_{1-alpha/2,, n-1} frac(hat(sigma), sqrt(n)),
|
||||
space
|
||||
macron(x) + t_{1-alpha/2,, n-1} frac(hat(sigma), sqrt(n))
|
||||
)),
|
||||
$
|
||||
где $t_{0.975, 199} approx \_\_\_\_$.
|
||||
|
||||
*ДИ для $sigma^2$* (распределение $chi^2$):
|
||||
$
|
||||
sigma^2 in lr((
|
||||
frac((n-1) hat(sigma)^2, chi^2_{1-alpha/2,, n-1}),
|
||||
space
|
||||
frac((n-1) hat(sigma)^2, chi^2_{alpha/2,, n-1})
|
||||
)).
|
||||
$
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2.5fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center),
|
||||
table.header([*Интервал*], [*Значение*]),
|
||||
[ДИ для $mu$ (асимптотический)], [(\_\_\_\_, \_\_\_\_)],
|
||||
[ДИ для $mu$ (точный, $t$-распределение)], [(\_\_\_\_, \_\_\_\_)],
|
||||
[ДИ для $sigma^2$], [(\_\_\_\_, \_\_\_\_)],
|
||||
),
|
||||
caption: [Точные ДИ для параметров нормального распределения ($X\_\_$)],
|
||||
)
|
||||
|
||||
// ─── 6.3 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
== Интерпретация доверительных интервалов
|
||||
|
||||
Доверительный интервал с уровнем $1 - alpha = 0.95$ означает следующее:
|
||||
если бы мы многократно повторяли эксперимент и строили интервал по каждой
|
||||
новой выборке, то примерно 95% таких интервалов покрывали бы истинное значение
|
||||
параметра. Это *не* означает, что истинный параметр попадает в данный конкретный
|
||||
интервал с вероятностью 95% — параметр либо лежит в интервале, либо нет.
|
||||
Вероятностный смысл относится к процедуре построения, а не к конкретному результату.
|
||||
|
||||
Чем уже интервал, тем точнее оценка. Ширина убывает как $O(1/sqrt(n))$, поэтому
|
||||
для вдвое более узкого интервала требуется вчетверо большая выборка.
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Итоговый вывод
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
_(Заполнить после получения числовых результатов — 5–12 строк.)_
|
||||
|
||||
По результатам анализа установлено следующее соответствие столбцов и законов
|
||||
распределения:
|
||||
|
||||
- $X_1$ — \_\_\_\_\_\_\_\_ с параметрами \_\_\_\_\_\_\_\_;
|
||||
- $X_2$ — \_\_\_\_\_\_\_\_ с параметрами \_\_\_\_\_\_\_\_;
|
||||
- $X_3$ — \_\_\_\_\_\_\_\_ с параметрами \_\_\_\_\_\_\_\_.
|
||||
|
||||
Оценки методом моментов и методом максимального правдоподобия _(совпали /
|
||||
незначительно расходятся)_. Доверительные интервалы для среднего имеют ширину
|
||||
порядка \_\_\_\_, что свидетельствует о _(высокой / умеренной)_ точности оценок
|
||||
при $n = 200$. Асимптотический и точный интервалы для нормального столбца
|
||||
практически совпадают, что подтверждает применимость ЦПТ при данном объёме
|
||||
выборки.
|
||||
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
= Бонус: анализ столбца $X_4$
|
||||
// ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||||
|
||||
== Первичное описание
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
rect(width: 100%, height: 5cm, fill: luma(240), stroke: luma(180))[
|
||||
#align(center + horizon)[_[Вставить гистограмму и ЭФР для X4]_]
|
||||
],
|
||||
caption: [Гистограмма и ЭФР столбца $X_4$],
|
||||
)
|
||||
|
||||
_(Описание формы: признаки бимодальности, неоднородности, наличие двух мод.)_
|
||||
|
||||
== Кластеризация ($k$-средних, $k=2$)
|
||||
|
||||
_(Описание метода и результат разбиения на два кластера.)_
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
table(
|
||||
columns: (2fr, 1fr, 1fr),
|
||||
align: (left, center, center),
|
||||
table.header([*Характеристика*], [*Кластер 1*], [*Кластер 2*]),
|
||||
[Объём $n_j$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Среднее $macron(x)_j$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Ст. откл. $hat(sigma)_j$], [\_\_\_\_], [\_\_\_\_],
|
||||
[Мин / Макс], [\_\_\_\_ / \_\_\_\_], [\_\_\_\_ / \_\_\_\_],
|
||||
),
|
||||
caption: [Характеристики кластеров столбца $X_4$],
|
||||
)
|
||||
|
||||
«Общее среднее» $macron(x)$ плохо описывает смесь двух режимов, поскольку
|
||||
является взвешенным средним двух различных распределений и может не
|
||||
соответствовать ни одному из них. Например, если моды расположены на расстоянии
|
||||
$d$ друг от друга, общее среднее окажется между ними в области низкой плотности.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user